图像小波变换与多分辨率

小波变换是近年来图像处理领域备受关注的新技术，尤其在图像压缩、特征检测和纹理分析等方面展现出巨大潜力。它通过多分辨率分析、时频域分析和金字塔算法等方法，为图像处理提供了全新的视角。

从傅里叶变换到小波变换

小波的概念

小波是在有限时间范围内变化且平均值为0的数学函数，具有有限持续时间和突变的频率与振幅两大特点。小波变换通过平移和缩放母小波，捕获信号的时间和频域信息，其结果为各种小波系数，反映局部信号与小波的相关程度。

感性认识小波变换

傅里叶变换是信号处理领域的经典分析手段，实现时域与频域的相互转化，但其无法提供信号在局部时间段的频率信息。例如，两个在时域上差异显著的信号，在频域上可能非常相似。

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft

# 中文显示工具函数
def set_ch():
    from pylab import mpl
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

set_ch()
t = np.linspace(0, 1, 400, endpoint=False)
cond = [t < 0.25, (t >= 0.25) & (t < 0.5), t >= 0.5]
f1 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 10 * t)
f2 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 50 * t)
f3 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 100 * t)
y1 = np.piecewise(t, cond, [f1, f2, f3])
y2 = np.piecewise(t, cond, [f2, f1, f3])
Y1 = abs(fft(y1))
Y2 = abs(fft(y2))

plt.figure(figsize=(12, 9))

plt.subplot(221)
plt.plot(t, y1)
plt.title('信号1 时间域')
plt.xlabel('时间/s')

plt.subplot(222)
plt.plot(range(400), Y1)
plt.title('信号1 频率域')
plt.xlabel('频率/Hz')

plt.subplot(223)
plt.plot(t, y2)
plt.title('信号2 时间域')
plt.xlabel('时间/s')

plt.subplot(224)
plt.plot(range(400), Y2)
plt.title('信号2 频率域')
plt.xlabel('频率/Hz')

plt.show()

为解决这一问题，可以采用加窗的短时距傅里叶变换，将长时间信号分割成多个较短的等长信号，再分别进行傅里叶变换，从而得到频率随时间的变化情况。

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pywt

# 中文显示工具函数
def set_ch():
    from pylab import mpl
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

set_ch()
t = np.linspace(0, 1, 400, endpoint=False)
cond = [t < 0.25, (t >= 0.25) & (t < 0.5), t >= 0.5]

f1 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 10 * t)
f2 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 50 * t)
f3 = lambda t: np.cos(2 * np.pi * 100 * t)

y1 = np.piecewise(t, cond, [f1, f2, f3])
y2 = np.piecewise(t, cond, [f2, f1, f3])

cwtmatr1, freqs1 = pywt.cwt(y1, np.arange(1, 200), 'cgau8', 1 / 400)
cwtmatr2, freqs2 = pywt.cwt(y2, np.arange(1, 200), 'cgau8', 1 / 400)

plt.figure(figsize=(12, 9))

plt.subplot(221)
plt.plot(t, y1)
plt.title('信号1 时间域')
plt.xlabel('时间/s')

plt.subplot(222)
plt.contourf(t, freqs1, abs(cwtmatr1))
plt.title('信号1 时间频率关系')
plt.xlabel('时间/s')
plt.ylabel('频率/Hz')

plt.subplot(223)
plt.plot(t, y2)
plt.title('信号2 时间域')
plt.xlabel('时间/s')

plt.subplot(224)
plt.contourf(t, freqs2, abs(cwtmatr2))
plt.title('信号2 时间频率关系')
plt.xlabel('时间/s')
plt.ylabel('频率/Hz')

plt.tight_layout()
plt.show()

小波变换则能同时提供信号的频率和时间信息，弥补了傅里叶变换的不足。它不仅知道信号中有哪些成分，还能知道这些成分在什么位置出现。

简单小波示例

哈尔小波构建

哈尔小波具有以下特点：

在时域是紧支撑的，非零区间为[0,1)
属于正交小波
具有对称性，系统单位冲击响应对称，有利于去除相位失真
仅取+1和-1，计算简单
是不连续小波，在实际信号分析与处理中存在一定限制

图像多分辨率

小波多分辨率

多分辨分析是小波分析的核心概念之一，将函数表示为低频成分与不同分辨率下的高频成分，具备以下特性：

单调性
伸缩性
平移不变性
Riesz基

图像金字塔

图像金字塔用于机器视觉或图像压缩，将图像表示为一系列分辨率逐渐降低的集合。多分辨率分析中，每层包含一个近似图像和一个残差图像，多种分辨率层次联合形成图像金字塔。

图像子带编码

子带编码将图像分解为多个频带受限的分量，称为子带。子带可重组无失真重建原始图像，每个子带通过带通滤波输入图像获得。